简介

雀巢原理：如果把n+1个个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或者更多个物体

加强版1：设 $q_1,q_2,\ldots,q_n$ 是正整数。若将 $q_1+q_2+\cdots+q_n-n+1$ 个物体放入n个盒子中，那么或者第一个盒子至少含有 $q_1$ 个物体，或者第二个盒子至少含有 $q_2$ 个物体，…或者第n个盒子至少含有 $q_n$ 个物体

加强版2：设n和r都是正整数。如果把 $n(r-1)+1$ 个物体分配到n个盒子中，那么至少有一个盒子含有r个或更多的物体。

应用1

在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

应用2：

设有n对情侣，至少要从这2n个人中选出n+1个人才能保证能够选出一对情侣。

应用3：

给定m个整数 $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_m$ ，存在满足 $0\le i<j\le m$ 的整数i和j，使得 $a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots+a_j$ 能够被m整除。通俗的说就是在序列 $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_m$ 中存在连续的a，这些a的加和sum能够被m整除 $sum\% m=0$

定义 sum[i]为前i项和，考虑这m个数sum[1],sum[2],…,sum[m]如果这些前缀和当中的任意一个可被m整除，那么结论成立。假设这m个前缀和都不能被m整除，那么 $sum[i] \% m=(1,2,3,...,m-1)$ 中的一个：因为有m个前缀和，但只有m-1个余数。所以必然存在两个前缀和 $sum[i]\% m=sum[j]\% m=r$ ；不妨假设 $sum[i]=pm+r,sum[j]=qm+r,q>p$ 。两者作差 $sum[j]-sum[i]=(q-p)m$ 即 $a_{i+1}+a_{i+2}+ \cdots +aj=(q-p)m$ ，可被 m 整除，证明完毕。

应用4：

一位国际象棋大师有11周的时间备战一场总决赛，他决定每天至少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳，他还决定每周下棋总数不超过12盘。证明存在连续若干天，这位大师恰好下了21盘棋。

定义 sum[ i ]为前 i 天下棋的总数，因为大师每天至少下一盘棋，所以 sum[1,…,77 ]序列为严格递增序列，且1 ≤ sum[1] < sum[2] <…< sum[77] ≤ 132(11×12) ，那么 22≤sum[1]+21 < sum[2]+21 <…< sum[77]+21 ≤ 153;因为这两部分一共有 77×2=154 个数，并且全都在[1,153]范围内，所以至少有两个数相等，又因为 sum[1,…,77 ]序列为严格递增序列，所以第一部分间无相同的数，同理，第二部分间也无相同的数，因此必然存在一个 i 和一个 j 使得 sum[ j ] = sum[ i ]+21.从而这位大师在第 i,i+1,…,j 连续的 (j-i) 天下了21盘棋。

应用5：

从整数 1,2,3,…,200 中选出101个整数。证明在所选的这些整数之间存在两个整数，使得这两个整数一个可被另一个整除。

易得每个整数都可写成 2k*a 的形式（k≥0,a为奇数），这200个数中有 1,3,5,…,199 共100个奇数，那么 a 就是从这100个奇数中任取一个，因为需要取101个数，所以至少存在两个数使得这两个数的 a 相同，假设这两个数分别为 $2^i*a , 2^j*a,j > i$ 且为整数，那么 $(2^j*a) / (2^i*a)=j-i$ 为整数。